理解度がいまいちな事項についてChatGPTとBardに聞いてみました。
質問内容は scipy.optimize.curve_fit 関数の戻り値からパラメータの信頼区間を求める方法ですが、一度に聞くのではなく戻り値について聞いて、その後で信頼区間の求め方を聞いてみました。
ChatGPT との対話
オレ
scipy.optimize.curve_fit https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.curve_fit.html#scipy.optimize.curve_fit の戻り値について詳しく説明して下さい。
Model: GPT-4
scipy.optimize.curve_fit関数は、与えられたデータに対して最小二乗法を用いて関数を適合させるためのものです。この関数の戻り値は2つあります：
- popt: 最適化されたパラメータの配列。これは関数に最もよく適合するパラメータのセットです。この配列の順序と数は、適合させるために指定された関数によります。たとえば、2次関数を適合させる場合、poptは形状パラメータ（a, b, c）の最適値を含む配列になります。
- pcov: 推定されたパラメータの共分散行列。これは適合の誤差を示す指標で、各パラメータの信頼区間を推定するのに使われます。共分散行列の対角要素はパラメータの分散を表し、対角線上以外の要素は2つのパラメータの共分散を表します。
poptとpcovは、曲線適合の品質と信頼性を評価するための重要な情報を提供します。
ただし、pcovが提供する信頼性情報を解釈する際には注意が必要です。最適化プロセスが収束した場合でも、解が真の解であるとは限りません。また、pcovは最小二乗問題の線形近似に基づいています。したがって、問題が非線形である場合や、最適化が収束しなかった場合、pcovが提供する情報は信頼できないかもしれません。
オレ
戻り値からパラメータの95%信頼水準を持つ信頼区間を求める方法を教えて下さい。
Model: GPT-4
curve_fitから得られたパラメータ共分散行列pcovは、パラメータの信頼区間を推定するために使用できます。
具体的には、共分散行列の対角成分の平方根は、各パラメータの標準誤差を提供します。そして、これを元に95%信頼区間を求めることができます。
95%信頼区間は通常、平均値（ここでは最適化パラメータ）± 1.96 * 標準誤差で計算されます（ここで1.96は正規分布の95%信頼区間に対応するzスコアです）。
以下に、Pythonでの実装例を示します：
import numpy as np import scipy.stats as stats # popt - 最適化されたパラメータ # pcov - 共分散行列 # 標準誤差を計算（共分散の対角成分の平方根） perr = np.sqrt(np.diag(pcov)) # 信頼区間 confidence_level = 0.95 z = stats.norm.ppf((1 + confidence_level) / 2) # 信頼区間の計算 lower_bound = popt - z * perr upper_bound = popt + z * perr # lower_boundとupper_boundは各パラメータに対する95%信頼区間を表します
この方法で計算される信頼区間は、あくまで近似であり、正規性と線形性の仮定に基づいています。したがって、これらの仮定が守られていない場合、信頼区間は正確でない可能性があります。
Bard との対話
オレ
scipy.optimize.curve_fit https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.curve_fit.html#scipy.optimize.curve_fit の戻り値について詳しく説明して下さい。
Bard
scipy.optimize.curve_fit は、関数をデータにフィッティングするために使用される非線形最小二乗法関数です。この関数は、関数、データ、およびパラメータの初期値の3つの引数を取ります。関数は、第1引数として独立変数を取り、残りの引数としてフィットするパラメータを取ります。データは独立変数と従属変数を含む配列です。パラメータの初期値は、関数のパラメータの数のリストです。
scipy.optimize.curve_fit は、3つの項目のタプルを返します。
- popt：これは、最小二乗法を使用してデータにフィッティングされたパラメータのベクトルです。
- pcov：これは、パラメータの共分散行列です。
- chi2：これは、最小二乗法の目的関数の値です。
popt タプルは、関数をデータにフィッティングするために使用できるパラメータのベクトルです。 pcov タプルは、パラメータの標準偏差の推定値を含む共分散行列です。 chi2 値は、最小二乗法の目的関数の値です。これは、データと関数の間の残差の二乗和です。
scipy.optimize.curve_fit は、関数をデータにフィッティングするために使用できる強力なツールです。これは、非線形最小二乗法を使用して、データに最適にフィットするパラメータを見つけます。
オレ
戻り値からパラメータの95%信頼水準を持つ信頼区間を求める方法を教えて下さい。
Bard
はい、喜んでお手伝いします。
scipy.optimize.curve_fit の戻り値からパラメータの 95% 信頼水準を持つ信頼区間を求めるには、次の手順に従います。
ここで、1.96 は 95% 信頼区間の Z スコアです。
たとえば、pcov タプルが次のようなものである場合：
pcov = [[1.0, 0.1], [0.1, 1.0]]
pcov タプルから a と b の標準偏差の推定値は次のとおりです。
sigma_a = np.sqrt(pcov[0, 0]) sigma_b = np.sqrt(pcov[1, 1])
95% 信頼区間は次のとおりです。
a_conf_int = [a - 1.96 * sigma_a, a + 1.96 * sigma_a] b_conf_int = [b - 1.96 * sigma_b, b + 1.96 * sigma_b]
この例では、パラメータ a の 95% 信頼区間は [0.04, 2.96] であり、パラメータ b の 95% 信頼区間は [1.04, 2.96] です。
95% 信頼区間は、パラメータが存在する可能性のある領域を示すものです。
感想
ChatGPT も Bard もほぼ同じような答えを返してくれました。
質問を2段階にしたことにより、ただ単に結果だけを求めただけでは解らない部分の理解も深まりました。
なお、Bing Chat に同様の質問をした結果、直接コードは示してくれませんでしたが解説はほぼ同じ内容で、StackOverFlow での関連質問等へのリンクを教えてくれました。
